拿起吉他，看看指板：靠近琴頭的品格很寬，越往琴身越窄，第 12 格剛好在上弦枕和下弦枕的正中間。這不是製琴師隨手畫的，而是兩千多年來，一群哲學家、數學家和魯特琴手爭論出來的結果。這一課沒有很難的數學，只有一根弦、幾個分數和一台計算機。我們從一個「聽起來很美、其實不對」的傳說開始。
鐵匠鋪前的傳說：四把鎚子
傳說是這樣的：有一天，古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras）走過一間鐵匠鋪，聽見裡面幾把鎚子輪流敲打鐵砧。奇妙的是，有些鎚子一起敲，聲音特別和諧；有些一起敲，卻很刺耳。他走進去一看，原來是鎚子的重量不同。他把鎚子拿去秤，發現重量是 12、9、8、6 的比例：12 和 6 一起敲，是八度；12 和 8、9 和 6，是五度；12 和 9、8 和 6，是四度。
這個故事很美，可惜不是真的。維基百科「畢達哥拉斯的鎚子」條目整理指出，最早記下這個故事的，是西元一到二世紀的新畢達哥拉斯派學者、格拉森的尼科馬庫斯（Nicomachus of Gerasa），寫在他的《和聲學手冊》裡，比畢達哥拉斯本人晚了好幾百年。之後揚布里科斯（Iamblichus）、六世紀初的波愛修斯（Boethius）一再轉述，波愛修斯的版本變成五把鎚子，中世紀的歐洲人就是從他那裡學到這個故事的。
它為什麼不對？因為鎚子的音高主要不是由重量決定的；同樣地，如果把不同重量的砝碼掛在弦上，弦的頻率也不是和重量成正比，而是和重量的「平方根」成正比。要讓一條弦高八度，掛的重量要變成四倍，不是兩倍。這件事後來被一位魯特琴手用實驗證明了，我們稍後會再遇到他。
傳說雖然錯了，故事卻流傳得很廣。1492 年，義大利音樂理論家加富里奧（Franchino Gaffurio）在《音樂理論》（Theorica musice）裡放了一幅有名的木刻：畢達哥拉斯敲著一排鐘、敲著裝了不同水量的杯子、撥著一根單弦琴、吹著長短不同的管子，旁邊還有鐵匠在打鐵。1521 年，德國數學家施萊伯（Heinrich Schreiber，拉丁名 Grammateus）在算術書裡，也畫了四把標著 12、9、8、6 的鎚子。
有趣的是，這位施萊伯在 1518 年，就畫過一種非常接近「平均律」的音階分法。一個人同時在書裡畫錯誤的傳說，又走在正確答案的前面，這正是那個時代的樣子：舊故事還沒退場，新想法已經上台了。
為什麼一個錯誤的故事能流傳一千多年？也許是因為它太好記了：一位哲學家、一間吵雜的鐵匠鋪、一個突然的靈感，再加上一組整整齊齊的數字。人們愛聽「天才在偶然間發現真理」的故事，卻很少有人真的去秤一秤鎚子。到了十六世紀末，終於有人用實驗把它推翻，而那個人，正好是一位每天和琴弦打交道的魯特琴手。
畢達哥拉斯是誰？一位沒有留下文字的老師
故事的主角本身就很神秘。畢達哥拉斯大約在西元前 570 年前後出生於愛琴海上的薩摩斯島（Samos），中年以後移居義大利南部的希臘殖民城市克羅頓（Croton），在那裡建立了一個半學派、半宗教團體的組織。成員要遵守嚴格的戒律，過共同的生活，學問也往往只在團體內部傳授。
他沒有留下任何親筆的著作。今天我們知道的「畢達哥拉斯思想」，大多來自他的學生、學生的學生，以及好幾百年後的作者轉述，真假混在一起。我們中學學的「畢氏定理」，是不是他本人證明的，學者也有爭論。音樂上的那幾個比例也一樣：與其說是畢達哥拉斯一個人的發現，不如說是他的學派把它們整理成一套「萬物皆數」的世界觀。
這套世界觀影響非常深遠。畢達哥拉斯學派相信，天上的星球運行時，也照著和諧的比例，發出人耳聽不見的「天體音樂」。到了六世紀初，羅馬學者波愛修斯在《音樂原理》（De institutione musica）裡，把音樂分成三種：宇宙的音樂、人體與靈魂的音樂，以及我們用樂器和歌聲演奏的音樂。在中世紀的大學裡，音樂和算術、幾何、天文並列為「四藝」，是一門數學學科。
單弦琴也成了中世紀的教具。十一世紀的義大利修士圭多（Guido of Arezzo），在討論如何教唱詩班認音時，就用單弦琴來示範每一個音的高度；奧地利國家圖書館收藏的一份中世紀手抄本裡，還畫著他和主教一起研究單弦琴的樣子。從畢達哥拉斯到圭多，一根弦，就是一整間音樂教室。
真正的實驗室：一根弦就夠了
鎚子的故事不對，但故事裡的那幾個比例，卻是真的，只是要用在「弦長」上。古希臘人用一種很簡單的工具來研究聲音：單弦琴（monochord）。一個長長的木箱，上面拉一條弦，弦下面有一個可以移動的琴橋。把琴橋放在不同位置，弦振動的長度就改變，音高也跟著改變。
用單弦琴可以發現三個最重要的關係。第一，把弦長縮短成一半，聲音剛好高八度，比例是 2:1。第二，把弦長縮成三分之二，聲音高一個完全五度，比例是 3:2。第三，把弦長縮成四分之三，聲音高一個完全四度，比例是 4:3。這三個簡單的分數，就是古希臘音樂理論的地基。
這三個比例，就藏在你的吉他上。第 12 格在弦長的一半，所以按第 12 格是高八度；第 7 格大約在弦長的三分之一處，剩下三分之二的弦在振動，所以按第 7 格大約是高五度；第 5 格大約在弦長的四分之一處，剩下四分之三，所以大約是高四度。輕觸第 12、7、5 格正上方彈出的泛音，就是古人用單弦琴聽到的那幾個和諧音。
其實，這些音程的使用比畢達哥拉斯更早。維基百科「美索不達米亞音樂」條目整理的研究指出，美索不達米亞的楔形文字泥板上，已經記錄了用「往下四度、往上五度」交替來調弦的方法，比畢達哥拉斯早了一千多年。畢達哥拉斯學派的貢獻，是把這些經驗寫成數字，並且相信數字就是宇宙和諧的秘密。
| 音程 | 頻率比 | 剩下的弦長 | 吉他上大約的位置 | 650 mm 弦長時（純比例） |
|---|---|---|---|---|
| 八度 | 2:1 | 1/2 | 第 12 格 | 距上弦枕 325.0 mm |
| 完全五度 | 3:2 | 2/3 | 第 7 格 | 距上弦枕 216.7 mm |
| 完全四度 | 4:3 | 3/4 | 第 5 格 | 距上弦枕 162.5 mm |
| 大三度（純律） | 5:4 | 4/5 | 第 4 格 | 距上弦枕 130.0 mm |
| 音程 | 頻率比・剩下的弦長・吉他上大約的位置・650 mm 弦長時 |
|---|---|
| 八度 | 頻率比 2:1・剩下的弦長 1/2 吉他上大約的位置：第 12 格 650 mm 弦長時（純比例）：距上弦枕 325.0 mm |
| 完全五度 | 頻率比 3:2・剩下的弦長 2/3 吉他上大約的位置：第 7 格 650 mm 弦長時（純比例）：距上弦枕 216.7 mm |
| 完全四度 | 頻率比 4:3・剩下的弦長 3/4 吉他上大約的位置：第 5 格 650 mm 弦長時（純比例）：距上弦枕 162.5 mm |
| 大三度（純律） | 頻率比 5:4・剩下的弦長 4/5 吉他上大約的位置：第 4 格 650 mm 弦長時（純比例）：距上弦枕 130.0 mm |
轉一圈回不了家：畢達哥拉斯音差
既然五度這麼和諧，能不能只用五度，把十二個音都找出來？這就是所謂的「畢達哥拉斯音律」：從一個音開始，往上一個純五度、再一個純五度……連續疊十二次，理論上應該繞一圈回到原來的音名，只是高了七個八度。
問題是，算出來對不上。十二個純五度是 3/2 自乘十二次，約等於 129.746；七個八度是 2 自乘七次，等於 128。兩者差了大約 1.36%，換成音樂上常用的單位「音分」（cent，一個半音等於 100 音分），大約是 23.5 音分，幾乎是四分之一個半音。這個怎麼樣都消不掉的小誤差，就叫做「畢達哥拉斯音差」（Pythagorean comma）。
這個音差對吉他有什麼影響？很大。吉他的一個品格，同時要服務六條弦、所有的調。如果第 7 格是一個純五度，那麼一路疊上去，總會有某個地方不和諧。對一把可以移動琴橋的單弦琴來說，這不成問題；可是對一把品格固定、要在各種調之間彈和弦的吉他來說，就必須做出選擇：要哪些音程純，哪些音程稍微妥協。
古代和中世紀的魯特琴手有一個辦法：品是用腸線綁在琴頸上的，可以移動。調音時稍微挪一挪，讓常用的和弦比較好聽。這個辦法很靈活，卻也很麻煩，而且換一個調，可能又得重新挪。十六世紀的魯特琴手們，開始認真想一個一勞永逸的答案。
用一個簡單的比喻來想：如果你要把十二個人排在一張圓桌旁，每個人之間的距離都想一樣，又想讓某幾對朋友坐得「剛剛好」，那是不可能兩全的。畢達哥拉斯音律選擇讓五度完美，代價是有一個五度特別難聽，被稱為「狼音」；後來的各種調律法，則是在不同的地方把這個誤差分掉。這場「怎麼分誤差」的爭論，在歐洲吵了好幾百年。
吉他手其實天天都在跟這個問題打交道，只是自己不知道。很多人學過用泛音調音：第 6 弦第 5 格的泛音對第 5 弦第 7 格的泛音，一路對下去。可是泛音是「純」的音程，吉他的品格卻是平均律，兩者有幾個音分的差距；如果每一條弦都用純五度、純四度去對，誤差就會一條一條累積，最後彈和弦時總覺得哪裡怪怪的。這就是為什麼調音教學常提醒，泛音調完之後，最好再用調音器確認每一條空弦。
伽利萊的 18:17：魯特琴手的實用算法
1520 年前後，義大利比薩附近的小鎮聖瑪利亞阿蒙特（Santa Maria a Monte）誕生了一個男孩，叫溫琴佐·伽利萊（Vincenzo Galilei）。他後來成為一位出色的魯特琴手、作曲家與音樂理論家。如果這個姓氏聽起來很熟悉，沒錯：他的長子，就是後來用望遠鏡觀察月亮與木星、晚年受到宗教法庭審判的物理學家伽利略（Galileo Galilei）。
根據美國物理學會《APS News》2015 年的紀念文章，溫琴佐年輕時在帕多瓦跟著當時最重要的音樂理論家札利諾（Gioseffo Zarlino）學習，學的是畢達哥拉斯傳統的音律。後來，研究古希臘音樂的學者梅伊（Girolamo Mei）告訴他：平均分配的音律，和畢達哥拉斯的比例對不起來。溫琴佐不服氣，拿兩把魯特琴用不同的方法調音，親耳比較，最後承認梅伊是對的。
1581 年，他在佛羅倫斯出版《古今音樂對話》（Dialogo della musica antica et della moderna），公開批評老師札利諾的理論，師生關係從此破裂。在這段時期的著作裡，他為魯特琴手提出一個非常實用的品格算法：每一格的位置，取「剩下弦長的十八分之一」。也就是說，從上弦枕量到琴橋，在全長的 1/18 處放第一格；再從第一格量到琴橋，在這段長度的 1/18 處放第二格；依此類推。維基百科「十二平均律」條目記載他用 18:17 的比例替魯特琴排品，並註明為了讓八度準確，仍需要稍作調整。
為什麼是 18:17？因為每放一格，剩下的弦長就變成原來的 17/18，音高就升高 18/17 倍，約 1.0588。十二平均律的半音是 1.0595 左右，兩者非常接近。換算成音分，18:17 大約是 99 音分，只比平均律的 100 音分小了大約 1 音分。人耳幾乎聽不出差別，可是對沒有計算機的十六世紀製琴師來說，「除以 18」比「乘上 2 的 12 次方根」容易太多了。
溫琴佐還做了一件更有名的事：他真的去掛砝碼。依照《APS News》的整理，他原本以為，兩條一樣的弦要差八度，張力比應該是 2:1，結果實驗發現要 4:1。科學史家德雷克（Stillman Drake）把這些實驗定在 1588 年左右。溫琴佐據此主張，和諧不只是抽象的數字比例，還要看物理條件，鐵匠鎚子的傳說也就站不住腳了。德雷克甚至推測，伽利略後來研究斜面上滾動的球時，用來標記位置的可移動「格子」，靈感可能就來自父親魯特琴上的品。
溫琴佐的身影不只出現在物理史裡，也出現在音樂史裡。他是佛羅倫斯「卡梅拉塔」（Camerata）沙龍的成員，這群人想要復興古希臘的音樂與戲劇，討論出一種讓歌詞清楚、只用簡單伴奏襯托的「單旋律歌曲」（monody），後來發展成歌劇。一位魯特琴手，一手推動了品格的計算，一手推動了歌劇的誕生，還教出一個改變科學史的兒子。
十二平均律：2 的 12 次方根
18:17 是很好的近似值，但它不是「完全平均」。真正的十二平均律，要把八度分成十二個大小完全相同的半音。既然八度是頻率的 2 倍，十二個相同的半音相乘要等於 2，每個半音就必須是「2 的 12 次方根」，約等於 1.059463。這個數字無法寫成簡單的分數，要算出來，需要開方。
誰最早把它算出來？維基百科「十二平均律」條目整理的資料說，明朝的朱載堉在 1581 年的著作中提出理論，並在 1584 年的著作中給出精確的數值，他用連續開方的方法求出 2 的 12 次方根，被認為是第一個從數學上解決這個問題的人。在歐洲，荷蘭數學家斯泰芬（Simon Stevin）大約在 1605 年的手稿裡提到 2 的 12 次方根，但這份手稿要到 1884 年才出版。
有意思的是，在數學家算出精確答案之前，彈撥弦樂器的人早就在實際使用接近平均律的品格了。維基百科的整理說，大約從 1550 年到 1650 年，魯特琴與古提琴（viol）基本上都採用平均律；1533 年，義大利的蘭弗蘭科（Giovanni Maria Lanfranco）已經寫下平均律的調音規則；連一度反對的札利諾，也在 1588 年的著作裡接受魯特琴用平均律。原因很簡單：一個品格要同時給好幾條弦用，不平均分，就沒辦法在每條弦上都彈得準。
換句話說，吉他、魯特琴這類有固定品格的樂器，是平均律最早、最積極的支持者。鍵盤樂器還在為各種調律法爭論不休的時候，撥弦樂器的指板上，已經默默排好了一排排等比例的品絲。1636 年，法國學者梅森（Marin Mersenne）在《普遍和聲》（Harmonie universelle）裡整理了平均律的弦長表，也用弦振動的定律，指出了鎚子傳說的物理錯誤。
今天的製琴師用的公式很簡單：第 n 格到上弦枕的距離，等於「弦長 ×（1 − 2 的負 n/12 次方）」。另一種常見的說法叫「17.817 法則」：每一格放在剩下弦長的 1/17.817 處。這個 17.817，正是 1 ÷（1 − 1/1.059463）算出來的數字，可以看成伽利萊 18 法則的「精確版」。
這個公式也解釋了指板上最直觀的現象：為什麼品格越往上越窄。因為每一格的寬度，都是前一格的 1/1.059463，也就是大約 94.4%。以 650 mm 的弦長來說，第 1 格寬約 36.5 mm，第 2 格約 34.4 mm，到了第 12 格只剩約 19.3 mm，第 13 格約 18.2 mm，剛好是第 1 格的一半。每往上一個八度，品格的寬度就減半。所以在高把位按和弦時，手指可以擠得比較近；在第一把位做大跨度的伸張，就特別辛苦。
算一算你的吉他
現在來實際算一次。假設一把古典吉他的弦長是 650 毫米（mm），也就是從上弦枕到下弦枕的距離。依十二平均律，第 1 格的位置是 650 ×（1 − 1/1.059463），大約 36.5 mm；第 12 格是 650 ×（1 − 1/2），剛好 325.0 mm。下面這張表，把十二平均律和伽利萊的 18 法則並排比較，最後一欄是用 18 法則做出來的品格，比平均律「低」了多少音分。
| 品格 | 十二平均律位置 | 18 法則位置 | 差距 | 18 法則偏低 |
|---|---|---|---|---|
| 第 1 格 | 36.5 mm | 36.1 mm | 0.4 mm | 約 1 音分 |
| 第 3 格 | 103.4 mm | 102.4 mm | 1.0 mm | 約 3 音分 |
| 第 5 格 | 163.1 mm | 161.6 mm | 1.5 mm | 約 5 音分 |
| 第 7 格 | 216.2 mm | 214.3 mm | 1.8 mm | 約 7 音分 |
| 第 12 格 | 325.0 mm | 322.6 mm | 2.4 mm | 約 12.5 音分 |
| 第 19 格 | 433.1 mm | 430.6 mm | 2.5 mm | 約 20 音分 |
| 品格 | 十二平均律位置・18 法則位置・差距・18 法則偏低 |
|---|---|
| 第 1 格 | 十二平均律位置：36.5 mm 18 法則位置：36.1 mm 差距：0.4 mm 18 法則偏低：約 1 音分 |
| 第 3 格 | 十二平均律位置：103.4 mm 18 法則位置：102.4 mm 差距：1.0 mm 18 法則偏低：約 3 音分 |
| 第 5 格 | 十二平均律位置：163.1 mm 18 法則位置：161.6 mm 差距：1.5 mm 18 法則偏低：約 5 音分 |
| 第 7 格 | 十二平均律位置：216.2 mm 18 法則位置：214.3 mm 差距：1.8 mm 18 法則偏低：約 7 音分 |
| 第 12 格 | 十二平均律位置：325.0 mm 18 法則位置：322.6 mm 差距：2.4 mm 18 法則偏低：約 12.5 音分 |
| 第 19 格 | 十二平均律位置：433.1 mm 18 法則位置：430.6 mm 差距：2.5 mm 18 法則偏低：約 20 音分 |
換一把琴，公式完全一樣，只是弦長不同。很多民謠吉他的弦長是 25.4 英寸，約 645 mm；常見的電吉他有 25.5 英寸（約 648 mm）和 24.75 英寸（約 629 mm）兩種。以 648 mm 來算，第 1 格大約在 36.4 mm，第 5 格約 162.5 mm，第 12 格就在 323.9 mm。弦長短一點，品格就跟著密一點，同樣的和弦按起來會比較輕鬆，弦的張力也會小一些；這就是為什麼不同品牌的電吉他，手感會不太一樣。
從表上可以看出兩件事。第一，18 法則每一格都放得稍微靠近上弦枕一點，按下去時振動的弦稍長，所以音稍低；誤差一格一格累積，到第 12 格大約低了 12.5 音分，大約是八分之一個半音。這就是為什麼伽利萊自己也說，要讓八度準，還得再調整。第二，前幾格的差距不到 1 毫米，耳朵很難分辨；對十六世紀用腸線綁品的魯特琴來說，這個簡單的算法已經非常好用。
再對照上一節的純比例：平均律的第 7 格在 216.2 mm，純五度的位置在 216.7 mm，只差 0.5 mm；換算成音分，平均律的五度比純五度低了大約 2 音分，幾乎聽不出來。平均律的第 5 格在 163.1 mm，純四度在 162.5 mm，平均律的四度比純四度高了大約 2 音分。可是大三度就差多了：平均律的大三度比純律寬了將近 14 音分，所以有些和弦裡的三度，聽起來會比較「亮」、比較緊。這不是你的吉他壞了，而是十二平均律為了「每個調都能彈」所付出的代價。
還有一件事，表上沒有寫：真實的吉他弦有粗細、有硬度，按下去時弦會被拉長一點點，所以實際的音會比理論值稍高。製琴師會把下弦枕往後移一點、或把它斜著放，讓粗弦的弦長稍微長一些，這叫做音準補償。數學給了我們理論上的位置，真正的樂器還要再加上一點經驗。
最後一個小故事。中國的琵琶原本只有很少的品，維基百科「琵琶」條目整理說，1920 到 1930 年代，琵琶的品被增加到 24 個，依據的正是十二平均律。從畢達哥拉斯的一根弦、伽利萊的魯特琴、朱載堉的開方，到二十世紀的琵琶，同一個數學問題，在東方和西方各自被解決了一次。
對學吉他的人有什麼意義
- 第 12 格在弦長的一半、第 7 格約在三分之一、第 5 格約在四分之一：記住這三個位置，泛音、八度與調音都會變得好懂。
- 吉他用的是十二平均律：每個調都能彈，代價是大三度比純律寬約 14 音分，有些和弦聽起來略亮，這是正常的。
- 伽利萊的 18 法則和今天的 17.817 法則只差一點點，卻累積出 12 音分的誤差：精確的數學，加上製琴師的音準補償，才有一把準的琴。
- 鐵匠鎚子的故事流傳了上千年，最後被一位魯特琴手用實驗推翻：遇到「大家都這麼說」的說法，自己試一次最可靠。
參考資料
- Wikipedia：Pythagorean hammers（尼科馬庫斯、波愛修斯、加富里奧、伽利萊與梅森）
- APS News（American Physical Society）, July 2015：July 2, 1591: Death of Vincenzo Galilei
- Wikipedia：Vincenzo Galilei、12 equal temperament、Pythagorean comma
- Encyclopaedia Britannica：Equal temperament（1581 年伽利萊提出魯特琴的平均分法）
- Vincenzo Galilei, Dialogo della musica antica et della moderna（Firenze, 1581；法國國家圖書館 Gallica 掃描）
- Franchino Gaffurio, Theorica musice（1492）
- Marin Mersenne, Harmonie universelle（Paris, 1636）
- Wikipedia：Music of Mesopotamia（四度、五度交替的調音法）
- Wikipedia：Pipa（1920～30 年代依平均律增加到 24 品）
告訴老師你的預算和想彈的風格，老師會依你的手型推薦好按、好聽的琴，也可以一起挑音箱與效果器；歡迎預約到台北中山區教室試彈，在教室買琴，老師交琴前會先調好弦距、檢查音準。
LINE 請老師幫我挑- 畢達哥拉斯聽鐵匠鎚子發現音程的故事，最早見於西元一到二世紀的尼科馬庫斯，物理上並不正確。
- 真正的比例在弦長上：弦長一半是八度（2:1）、三分之二是五度（3:2）、四分之三是四度（4:3），對應吉他第 12、7、5 格附近。
- 連續十二個純五度比七個八度多出約 23.5 音分，這就是畢達哥拉斯音差，固定品格的樂器因此必須妥協。
- 魯特琴手溫琴佐·伽利萊提出每格取剩下弦長 1/18 的 18:17 法則，並以掛砝碼的實驗推翻鎚子傳說。
- 十二平均律的半音是 2 的 12 次方根（約 1.059463）；朱載堉 1584 年精確算出，魯特琴與古提琴約 1550～1650 年已普遍採用。
- 以 650 mm 弦長計算，第 1 格約 36.5 mm、第 12 格 325.0 mm；18 法則到第 12 格約偏低 12.5 音分。
常見問題
吉他的品格位置是怎麼算的？
依十二平均律，第 n 格到上弦枕的距離等於「弦長 ×（1 − 2 的負 n/12 次方）」。也可以用「17.817 法則」：每一格放在剩下弦長的 1/17.817 處。以 650 mm 弦長為例，第 1 格約 36.5 mm，第 12 格剛好在 325 mm。
為什麼吉他第 12 格剛好在弦長的一半？
因為弦長縮短一半，振動頻率就變成兩倍，聲音剛好高八度。十二平均律把八度分成十二個相同的半音，所以第 12 格一定落在弦長的一半。
畢達哥拉斯真的從鐵匠的鎚子發現音程嗎？
這是傳說。最早的記載出自畢達哥拉斯死後數百年的尼科馬庫斯，而且鎚子的音高並不是由重量比例決定的。十六世紀的溫琴佐·伽利萊用實驗發現，弦要高八度，掛的重量要變成四倍；1636 年梅森也指出了這個傳說的物理錯誤。
什麼是伽利萊的 18 法則？
這是十六世紀魯特琴手溫琴佐·伽利萊提出的品格算法：每一格放在剩下弦長的 1/18 處，每格音高升高 18/17 倍，約 99 音分，非常接近平均律的 100 音分，但累積到第 12 格約偏低 12.5 音分，需要稍作調整。
照片：法蘭奇諾·加富里奧《音樂理論》1492 年木刻（作者不詳）／Public domain／Wikimedia Commons
Heinrich Schreiber（Grammateus，1521 年書中插圖）／Public domain／Wikimedia Commons
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Vincenzo Galilei（1581 年印本，法國國家圖書館掃描）／Public domain／Wikimedia Commons
Marin Mersenne（1636 年印本）／Public domain／Wikimedia Commons
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《大海嘯》榮獲 2012 華語金曲獎「年度最佳獨奏專輯」，並入圍第 23 屆金曲獎最佳演奏專輯；著有《指彈吉他訓練大全》；曾擔任上千場大型演唱會的樂手，合作過李宗盛、周杰倫、張惠妹、田馥甄等歌手。擁有 30 年演出與教學經驗，在台北中山區親自一對一教學（台北學吉他・盧家宏吉他音樂教室），也開設線上吉他直播班。
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